Definicion de Vector, suma, cosenos directores.

Un vector se representa como una flecha, de longitud proporcional a su magnitud, y de esta forma representado, puede interactuar con otros vectores aun sin la presencia de un sistema de coordenadas, el vector contiene informacion sobre el tamaño, la direccion, y el sentido que tiene la magnitud que representa (velocidad, desplazamiento, fuerza, etc) por ejemplo:
Dos vectores se suman poniendo uno despues de otro, el vector resultante es el vector que va desde el principio hasta el final del conjunto de vectores.

Se ve que no importa cual vector se ponga primero, la resultante de poner los dos vectores uno tras otro, es la misma, se dice entonces que la suma de vectores es conmutativa: a+b = b+a.

Usualmente se usa una letra con una rayita encima o una letra en negritas para nombrar un vector.

Existe otra posibilidad para representar vectores: ubicando el vector en un sistema de coordenadas de referencia, con el vector partiendo desde el origen y terminando en el punto (Ax,Ay,Az)

Aunque A puede representar cualquier cantidad vectorial, existe una cantidad imporante, el desplazamiento desde el origen al punto (x,y,z) que se representa por  r  . Entonces podemos elegir si nos referimos al vector desplazamiento como el vector r o como la coleccion (x,y,z).
Usando |r| para la magnitud del vector r podemos ver en la figura que las coordenadas del punto final y la magnitud estan relacionadas por:

x=|r| cos a ,       y=|r| cos B ,       z=|r| cos y

donde los cosenos de alfa(a), beta(B) y gamma(y), son llamados cosenos directores. Y los angulos son medidos entre el vector y el eje correspondiente (a es el angulo entre el vector y el eje z, y asi...).

Ax,Ay,Az son llamadas "componentes (cartesianas) del vector A" o tambien son llamadas "proyecciones del vector A", o simplemente "proyecciones de A".





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Proyeccion de un vector sobre otro vector

Proyectar un vector sobre otro es encontrar el vector que tiene la misma direccion que el vector que recibe la proyeccion, pero su longitud depende del vector que se proyecta:

Es como una sombra:

El vector A se esta proyectando sobre el vector B 

y el resultado es el vector verde.

El vector proyeccion es resultado de multiplicar el vector B por un escalar, en el dibujo la proyeccion es mas pequeña que el vector que recibe la proyeccion, pero puede darse el caso de que la proyeccion sea mas larga que el vector que la recibe, sin embargo, no deja de ser producto de un escalar por el vector, ya que tiene la misma direccion:

 ...........................

  Proy AB= n B

Y a qué es igual ese numero n? vamos a considerar el triángulo rectángulo que forman el vector proyección, el vector proyectado (A) y la linea punteada.

 El vector proyección (verde) es el cateto adyacente, el vector A es la hipotenusa y la linea punteada es el cateto opuesto del angulo (t) que forman A y la proyección.  La magnitud del cateto adyacente es igual a la hipotenusa multiplicada por el coseno del angulo.

| Proy AB | = |A| cos t

Pero de la definicion de producto punto tenemos que

El producto punto de dos vectores A y B escrito como A•B es definido geométricamente como el producto de sus magnitudes y el coseno del ángulo entre ellos, el resultado es un escalar.

A•B=|A||B| cos t

O lo que es igual (dividiendo entre |B|):

A•B    =    |A| cos t
 |B|


Sustituyendo esto en la ecuacion que define la magnitud de la proyeccion nos queda:

| Proy AB | =   A•B
....................... |B|




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Distancia de un punto a un plano y distancia de un punto a una recta

La distancia D de un punto Q a un plano es la longitud del segmento de recta más corto que une a Q con el plano.
Suponiendo que tenemos las coordenadas del punto Q y la ecuacion del plano.
Si P es un punto cualquiera sobre el plano, la distancia puede hallarse proyectando el vector PQ sobre el vector normal n (que es perpendicular al plano), la magnitud de esta proyeccion es la distancia buscada.

Un punto cualquiera del plano ax+by+cz+d=0 se puede encontrar si se hace y=0 y z=0 entonces de la ecuacion  ax+d=0  se concluye que el punto (-d/a,0,0) está en el plano, este sera el punto P.

Resolviendo la proyección del vector PQ sobre n, se tiene:

 

Aqui a,b,c son las componentes del vector  n, normal al plano (perpendicular al plano)

x0,y0,z0 son las coordenadas del punto Q

x1,y1,z1 son las coordenadas del punto P

D es la distancia.

NOTA CONFUSORIA: si se tienen dos puntos A y B, la union de esos dos puntos sera el vector AB . El origen sera el punto A y la punta de la flecha  estara en B.  Para determinar AB se realiza B-A.

Si en la formula anterior multiplicamos donde se tiene que multiplicar  y definimos d como:  d=-(ax1+by1+cz1) la ecuación anterior se puede expresar como:

se está usando el valor absoluto en el numerador porque una distancia no podría ser negativa en nuestro mundo.

NOTA: LA PROYECCION DE UN VECTOR SOBRE OTRO NO SE TRATA EN ESTE CAPITULO, visita el link.

Ejemplo de como aplicar esta formula:

Tenemos el Punto (3,1,-2)
Y el plano 2x+y-z+1=0

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EN EL ESPACIO

La fórmula se parece a la de la distancia de un punto a un plano, excepto porque se reemplaza el producto vectorial por la magnitud del producto vectorial y el vector normal n por un vector de dirección para la recta.

Por ejemplo:
El punto Q(3,-1,4) y la recta dada por
x=-2+3t
y=-2t
z=1+4t
los numeros de dirección son 3,-2 y 4, un vector de direccion de la recta es u=(3,-2 , 4)
un punto en la recta se encuentra haciendo t=0 y se obtiene P=(-2,0,1)

se aplica la resta para encontrar el vector PQ
se forma el producto vectorial
y se encuentra la distancia por la formula de arriba.

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Planos en el espacio

Una ecuacion de un plano en el espacio se puede obtener a partir de un punto en el plano y un vector NORMAL al plano. Cuando se dice NORMAL significa que es perpendicular.
Considerar el plano que contiene el punto P(x1,y1,z1) y que tiene un vector normal distinto de cero n=(a,b,c)
Este plano consta de todos los puntos Q(x,y,z) para los cuales el vector PQ es ortogonal a n.

Usando el producto vetorial se tiene:

n.PQ=0
(a,b,c).(x-x1,y-y1,z-z1)=0
a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0

que es la ecuación canónica o estándar de un plano en el espacio.
si se reagrupan los términos se obtiene la forma general de la ecuación de un plano en el espacio:

ax+by+cz+d=0

POR EJEMPLO:

Hallar la ecuación general del plano que contiene los puntos (2,1,1), (0,4,1) y (-2,1,4)
SOLUCION:
Se necesita un punto en el plano y un vector que sea normal, como no se da en los datos del problema, se va a usar el producto vectorial de dos vectores que van de (2,1,1) a cada uno de los otros dos puntos.
Sean
u=(0-2,4-1,1-1)=(-2,3,0)
v=(-2-2,1-1,4-1)=(-4,0,3)

n=u x v


          i       j      k
=      -2      3     0
        -4      0     3

=    9i+6j+12k  = (a,b,c)


ahora se puede determinar la ecuacion del plano que es
a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0

9(x-2)+6(y-1)+12(z-1)=0

9x+6y+12z-36=0



CUANDO DOS PLANOS SE CORTAN, LO HACEN EN UNA LINEA RECTA, Y FORMAN UN ANGULO ENTRE ELLOS.

Dos planos distintos en el espacio o son paralelos o se cortan, el angulo q entre los vectores normales está dado por

La ecuacion de la recta de intersección entre los planos se puede obtener resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones lineales que representan a los planos, como falta una ecuación, se pueden despejar solo dos variables en términos de la tercera, que se expresará en términos del parámetro t, de éste modo se tienen las paramétricas de la recta de intersección de los planos.

La recta de intersección de los dos planos es paralela al producto vectorial de sus vectores normales. (n1 x n2)

Si en la ecuación del plano se hace una variable cero, queda una recta en uno de los planos coordenados, esto es una traza del plano en donde éste se intersecta con el plano coordenado.

Trazando las "trazas" en los planos coordenados, se puede esbozar un plano en el espacio.

Si en una ecuación de un plano está ausente una variable, el plano va a seer paralelo al eje correspondiente a la variable ausente.

Si faltan dos variables, este es paralelo al plano coordenado correspondiente a las variables ausentes.