lunes, 26 de abril de 2010

Planos en el espacio

Una ecuacion de un plano en el espacio se puede obtener a partir de un punto en el plano y un vector NORMAL al plano. Cuando se dice NORMAL significa que es perpendicular.
Considerar el plano que contiene el punto P(x1,y1,z1) y que tiene un vector normal distinto de cero n=(a,b,c)
Este plano consta de todos los puntos Q(x,y,z) para los cuales el vector PQ es ortogonal a n.

Usando el producto vetorial se tiene:

n.PQ=0
(a,b,c).(x-x1,y-y1,z-z1)=0
a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0

que es la ecuación canónica o estándar de un plano en el espacio.
si se reagrupan los términos se obtiene la forma general de la ecuación de un plano en el espacio:

ax+by+cz+d=0

POR EJEMPLO:

Hallar la ecuación general del plano que contiene los puntos (2,1,1), (0,4,1) y (-2,1,4)
SOLUCION:
Se necesita un punto en el plano y un vector que sea normal, como no se da en los datos del problema, se va a usar el producto vectorial de dos vectores que van de (2,1,1) a cada uno de los otros dos puntos.
Sean
u=(0-2,4-1,1-1)=(-2,3,0)
v=(-2-2,1-1,4-1)=(-4,0,3)

n=u x v


          i       j      k
=      -2      3     0
        -4      0     3

=    9i+6j+12k  = (a,b,c)


ahora se puede determinar la ecuacion del plano que es
a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0

9(x-2)+6(y-1)+12(z-1)=0

9x+6y+12z-36=0



CUANDO DOS PLANOS SE CORTAN, LO HACEN EN UNA LINEA RECTA, Y FORMAN UN ANGULO ENTRE ELLOS.

Dos planos distintos en el espacio o son paralelos o se cortan, el angulo q entre los vectores normales está dado por
La ecuacion de la recta de intersección entre los planos se puede obtener resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones lineales que representan a los planos, como falta una ecuación, se pueden despejar solo dos variables en términos de la tercera, que se expresará en términos del parámetro t, de éste modo se tienen las paramétricas de la recta de intersección de los planos.

La recta de intersección de los dos planos es paralela al producto vectorial de sus vectores normales. (n1 x n2)

Si en la ecuación del plano se hace una variable cero, queda una recta en uno de los planos coordenados, esto es una traza del plano en donde éste se intersecta con el plano coordenado.
Trazando las "trazas" en los planos coordenados, se puede esbozar un plano en el espacio.

Si en una ecuación de un plano está ausente una variable, el plano va a seer paralelo al eje correspondiente a la variable ausente.
Si faltan dos variables, este es paralelo al plano coordenado correspondiente a las variables ausentes. 

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