domingo, 16 de octubre de 2011

Definicion de Vector, suma, cosenos directores.

Un vector se representa como una flecha, de longitud proporcional a su magnitud, y de esta forma representado, puede interactuar con otros vectores aun sin la presencia de un sistema de coordenadas, el vector contiene informacion sobre el tamaño, la direccion, y el sentido que tiene la magnitud que representa (velocidad, desplazamiento, fuerza, etc) por ejemplo:
Dos vectores se suman poniendo uno despues de otro, el vector resultante es el vector que va desde el principio hasta el final del conjunto de vectores.
Se ve que no importa cual vector se ponga primero, la resultante de poner los dos vectores uno tras otro, es la misma, se dice entonces que la suma de vectores es conmutativa: a+b = b+a.
Usualmente se usa una letra con una rayita encima o una letra en negritas para nombrar un vector.
Existe otra posibilidad para representar vectores: ubicando el vector en un sistema de coordenadas de referencia, con el vector partiendo desde el origen y terminando en el punto (Ax,Ay,Az)
Aunque A puede representar cualquier cantidad vectorial, existe una cantidad imporante, el desplazamiento desde el origen al punto (x,y,z) que se representa por  r  . Entonces podemos elegir si nos referimos al vector desplazamiento como el vector r o como la coleccion (x,y,z).
Usando |r| para la magnitud del vector r podemos ver en la figura que las coordenadas del punto final y la magnitud estan relacionadas por:

x=|r| cos a ,       y=|r| cos B ,       z=|r| cos y

donde los cosenos de alfa(a), beta(B) y gamma(y), son llamados cosenos directores. Y los angulos son medidos entre el vector y el eje correspondiente (a es el angulo entre el vector y el eje z, y asi...).

Ax,Ay,Az son llamadas "componentes (cartesianas) del vector A" o tambien son llamadas "proyecciones del vector A", o simplemente "proyecciones de A".





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martes, 24 de mayo de 2011

Proyeccion de un vector sobre otro vector

Proyectar un vector sobre otro es encontrar el vector que tiene la misma direccion que el vector que recibe la proyeccion, pero su longitud depende del vector que se proyecta:

Es como una sombra:
El vector A se esta proyectando sobre el vector B 
y el resultado es el vector verde.

El vector proyeccion es resultado de multiplicar el vector B por un escalar, en el dibujo la proyeccion es mas pequeña que el vector que recibe la proyeccion, pero puede darse el caso de que la proyeccion sea mas larga que el vector que la recibe, sin embargo, no deja de ser producto de un escalar por el vector, ya que tiene la misma direccion:
 ...........................
  Proy AB= n B

Y a qué es igual ese numero n? vamos a considerar el triángulo rectángulo que forman el vector proyección, el vector proyectado (A) y la linea punteada.
 El vector proyección (verde) es el cateto adyacente, el vector A es la hipotenusa y la linea punteada es el cateto opuesto del angulo (t) que forman A y la proyección.  La magnitud del cateto adyacente es igual a la hipotenusa multiplicada por el coseno del angulo.

| Proy AB | = |A| cos t

Pero de la definicion de producto punto tenemos que

El producto punto de dos vectores A y B escrito como A•B es definido geométricamente como el producto de sus magnitudes y el coseno del ángulo entre ellos, el resultado es un escalar.
A•B=|A||B| cos t
O lo que es igual (dividiendo entre |B|):

A•B    =    |A| cos t
 |B|


Sustituyendo esto en la ecuacion que define la magnitud de la proyeccion nos queda:

| Proy AB | =   AB
....................... |B|




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